Ukrainian Mathematical Olympiad

Побудуємо на стороні $BC$ даного трикутника зовні нього рівносторонній трикутник $BC{A}_2$. Унаслідок умови задачі, $\angle AB{C}_1=\angle AC{B}_1=90^{\circ }$ і $\angle A_{1}B{A}_2=\angle A_{1}C{A}_2=90^{\circ }$, а внаслідок рівності трикутників $A_{1}B{A}_2$ і $A_{1}C{A}_2$ (за двома катетами) маємо: $\angle A_1{A}_{2}B=\angle A_1{A}_{2}C=30^{\circ }$. З подібності трикутників $AB{C}_1$ і $A_{2}B{A}_1$ (за двома кутами) випливає, що $\frac{B{C}_1}{B{A}_1}=\frac{BA}{B{A}_2}$, звідки $\frac{BA}{B{C}_1}=\frac{B{A}_2}{B{A}_1}$, і $\angle AB{A}_2=\angle C_{1}B{A}_1$. Тому трикутники $C_{1}B{A}_1$ і $AB{A}_2$ подібні (за двома сторонами і кутом між ними). Звідси $\angle C_1{A}_{1}B=\angle A{A}_{2}B$. Аналогічно, $\angle B_1{A}_{1}C=\angle A{A}_{2}C$, тому $$\angle C_1{A}_{1}B+\angle C{A}_1{B}_1=\angle A{A}_{2}B+\angle A{A}_{2}C=\angle B{A}_{2}C=60^{\circ }.$$ Відтак, $$\angle C_1{A}_1{B}_1=\angle C_1{A}_{1}B+\angle B{A}_{1}C+\angle C{A}_1{B}_1=120^{\circ }+60^{\circ }=180^{\circ }.$$ Отже, точки $A_1$, $B_1$ і $C_1$ лежать на одній прямій.