jmc

Each number in Pascal's triangle is the sum of the two numbers above it. If we use $0\text{’s}$ and $1\text{’s}$ to stand for "even" and "odd", then by using the rules $0+0=0,$ $0+1=1,$ and $1+1=0,$ we can efficiently compute the parity (even- or oddness) of the entries without computing the entries themselves: \begin{array}{c *{40}{@{}c}} &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&&&&&&&&&&&1&&1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&&&&&&&&&&1&&0&&1&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&&&&&&&&&1&&1&&1&&1&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&&&&&&&&1&&0&&0&&0&&1&&&&&&&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&&&&&&&1&&1&&0&&0&&1&&1&&&&&&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&&&&&&1&&0&&1&&0&&1&&0&&1&&&&&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&&&&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&&&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&&&&1&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&1&&&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&&&1&&1&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&1&&1&&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&&1&&0&&1&&0&&0&&0&&0&&0&&1&&0&&1&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&1&&1&&1&&1&&0&&0&&0&&0&&1&&1&&1&&1&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&1&&0&&0&&0&&1&&0&&0&&0&&1&&0&&0&&0&&1&&&&&&&&\\ &&&&&&&1&&1&&0&&0&&1&&1&&0&&0&&1&&1&&0&&0&&1&&1&&&&&&&\\ &&&&&&1&&0&&1&&0&&1&&0&&1&&0&&1&&0&&1&&0&&1&&0&&1&&&&&&\\ &&&&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&&&&\\ &&&&1&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&1&&&&\\ &&&1&&1&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&1&&1&&&\\ &&1&&0&&1&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&1&&0&&1&&\\ &1&&1&&1&&1&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&1&&1&&1&&1&\\ 1&&0&&0&&0&&1&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&0&&1&&0&&0&&0&&1 \end{array} There's an interesting pattern here! It's clearer if we don't write the $0\text{’s}:$ \begin{array}{c *{40}{@{}c}} &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&&&&&&&&&&&1&&1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&&&&&&&&&&1&&&&1&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&&&&&&&&&1&&1&&1&&1&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&&&&&&&&1&&&&&&&&1&&&&&&&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&&&&&&&1&&1&&&&&&1&&1&&&&&&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&&&&&&1&&&&1&&&&1&&&&1&&&&&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&&&&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&&&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&&&&1&&&&&&&&&&&&&&&&1&&&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&&&1&&1&&&&&&&&&&&&&&1&&1&&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&&1&&&&1&&&&&&&&&&&&1&&&&1&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&1&&1&&1&&1&&&&&&&&&&1&&1&&1&&1&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&1&&&&&&&&1&&&&&&&&1&&&&&&&&1&&&&&&&&\\ &&&&&&&1&&1&&&&&&1&&1&&&&&&1&&1&&&&&&1&&1&&&&&&&\\ &&&&&&1&&&&1&&&&1&&&&1&&&&1&&&&1&&&&1&&&&1&&&&&&\\ &&&&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&1&&&&&\\ &&&&1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&1&&&&\\ &&&1&&1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&1&&1&&&\\ &&1&&&&1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&1&&&&1&&\\ &1&&1&&1&&1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&1&&1&&1&&1&\\ 1&&&&&&&&1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&1&&&&&&&&1 \end{array} Anyway, this table shows that there are four rows that qualify: the $2^{\mathrm{nd}},$ $4^{\mathrm{th}},$ $8^{\mathrm{th}},$ and $16^{\mathrm{th}}$ rows. So the answer is $\boxed{4}.$