IMO Selection Test

Бидејќи $HG\parallel AB$ и $BG\parallel AH$, добиваме дека $BG\perp BC$ и $CH\perp GH$. Според тоа, четириаголникот $BGCH$ е тетивен. Бидејќи $H$ е ортоцентар на триаголникот $ABC$, добиваме дека $\angle HAC=90^{\circ }-\angle ACB=\angle CBH$. Бидејќи $BGCH$ и $CGJI$ се тетивни четириаголници, добиваме дека $$\angle CJI=\angle CGH=\angle CBH=\angle HAC.$$ Нека $M$ е пресечна точка на $AC$ и $GH$, и нека $D\ne A$ е точка од правата $AC$ така што $AH=HD$. Тогаш $\angle MJI=\angle HAC=\angle MDH$. Бидејќи $\angle MJI=\angle MDH$, $\angle IMJ=\angle HMD$ и $IM=MH$, добиваме дека триаголниците $IMJ$ и $HMD$ се складни, па според тоа $IJ=HD=AH$, што требаше да се докаже.

---

Alternative solution.

Равенството $\angle CGH=\angle CGB$ го добиваме на потполно ист начин како и во претходното решение. Во паралелограмот $ABGH$ имаме $\angle BAH=\angle HGB$. Од таму добиваме дека $$\angle HMC=\angle BAC=\angle BAH+\angle HAC=\angle HGB+\angle CGB=\angle CGB.$$



Според тоа правоаголните триаголници $CMH$ и $CGB$ се слични. Исто така од опишаната круница околу триаголникот $GCI$ лесно се добива дека триаголниците $MIJ$ и $MCG$ се слични. Но, тогаш $$\frac{IJ}{CG}=\frac{MI}{MC}=\frac{MH}{MC}=\frac{GB}{GC}=\frac{AH}{CG},$$ од каде го добиваме равенството $IJ=AH$.