Ukrainian Mathematical Olympiad

Нехай $\angle SPO=\alpha$. Очевидно, що $\angle SPO=\angle QPO=\angle PQI=\angle RQI=\angle POI$. Зокрема, оскільки $\angle PQI=\angle POI$, то чотирикутник $POQI$ циклічний, причому, з урахуванням паралельності прямих $PO$ і $QI$, — рівнобічна трапеція. Таким чином, $OI=PQ$. Якщо $\angle QOI=\beta$, то $\angle PQI=\beta$, $\angle OQP=\angle OIP=180^{\circ }-2\alpha -\beta$. Точка $O$ є центром зовнівписаного кола трикутника $SPQ$, звідки $$\angle OQS=\beta +2\alpha ,\angle SQR=180^{\circ }-(\beta +2\alpha )=180^{\circ }-\angle SPR.$$ Отже, чотирикутник $SQRP$ є циклічним. Враховуючи, що $SP\parallel QR$, дістаємо рівність $PQ=SR$.