Ukrainian Mathematical Olympiad

Нехай для деякого парного числа $k$ і натурального числа $l$ виконується рівність $(k-3)(k-1)(k+1)(k+3)=l^3$, тобто $(k^2-9)(k^2-1)=l^3$. Якщо числа $k^2-9$ і $k^2-1$ мають спільний простий дільник, то він є дільником їхньої різниці, а тому дорівнює 2. Але числа $k^2-9$ і $k^2-1$ непарні, отже вони взаємно прості і кожне з них є точним кубом. Відтак, $k^2-9=n^3$ та $k^2-1=m^3$, де $m,n\in \mathbb{N}$. Звідси $m^3-n^3=8$, тобто $(m-n)(m^2+mn+n^2)=8$. Оскільки $m-n<m^2+mn+n^2$, то можливі лише два випадки: $$\{\begin{array}{l}m-n=1,\\ m^2+mn+n^2=8;\end{array}\text{або}\{\begin{array}{l}m-n=2,\\ m^2+mn+n^2=4.\end{array}$$ Перша система не має розв'язків у натуральних числах, бо коли $m-n=1$, то $m$ і $n$ мають різну парність, а тоді $m^2+mn+n^2$ — непарне число. Друга система також не має розв'язків у натуральних числах, бо коли $m-n=2$, то $m\ge 3$, а тоді $m^2+mn+n^2>m^2\ge 9$. Отже, вказаний добуток не може бути точним кубом.