Ukrainian Mathematical Olympiad

Лема. На сторонах гострокутного трикутника як на основах побудовано рівнобедрені трикутники $АХВ$, $BYC$, $CZA$, для яких $\angle АХВ=\angle ВҮС=120^{\circ }$, $\angle СZA=60^{\circ }$. Тоді $XY\perp BZ$.

Доведення. Див. задачу 4 для 8 класу. $\square$

Перейдемо до розв'язування задачі. Нехай $X$ і $Y$ — середини сторін $B{C}^{\prime }$ і $B{A}^{\prime }$ відповідно, а $Z$ — точка, симетрична точці $C$ відносно $B^{\prime }$. Тоді $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel XY$, $B^{\prime }M\parallel BZ$.

Медіана прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, тому $XA=XB$ і $YB=YC$. До того ж, $\angle АХВ=\angle ВҮС=180^{\circ }-(30^{\circ }+30^{\circ })=120^{\circ }$, а трикутник $AZC$ правильний. Тому за лемою, $BZ\perp XY$, звідки $B^{\prime }M\perp A^{\prime }{C}^{\prime }$.