Ukrainian Mathematical Olympiad

Доведемо спочатку, що якщо основою чотирикутної піраміди $SABCD$ є квадрат $ABCD$, і точки $A_0,B_0,C_0,D_0$ належать променям $SA,SB,SC,SD$ відповідно, причому $A_0{B}_0{C}_0{D}_0$ є паралелограмом, то $A_0{B}_0{C}_0{D}_0$ — квадрат. Нехай $l=(SCD)\cap (SAB)$ і $m=(SAD)\cap (SBC)$. За відомою лемою про три паралельні, $CD\parallel BA\parallel l$, $BC\parallel AD\parallel m$, $C_0{D}_0\parallel B_0{A}_0\parallel l$, $B_0{C}_0,A_0{D}_0\parallel m$. Отже, $(ABCD)\parallel (A_0{B}_0{C}_0{D}_0)$, а тому, як легко зрозуміти (наприклад, з міркувань перетворення гомотетії), $A_0{B}_0{C}_0{D}_0$ — квадрат. З цього допоміжного твердження випливає, що всі грані нашого паралелепіпеда — квадрати. Таким чином, цей паралелепіпед $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }{A}_1^{\prime }{B}_1^{\prime }{C}_1^{\prime }{D}_1^{\prime }$ насправді є кубом.

Наведемо й один з можливих векторних способів розв'язування цієї задачі. Нехай $MABCD$ — чотиригранний кут з вершиною $M$ і неколінеарними ребрами $MA,MB,MC$ і $MD$. Досить показати, що якщо два його перерізи $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ і $A_2{B}_2{C}_2{D}_2$ ($A_1,A_2\in MA$, $B_1,B_2\in MB$, $C_1,C_2\in MC$, $D_1,D_2\in MD$) є паралелограмами, то ці паралелограми подібні. Розглянемо в просторі гомотетію з центром у точці $M$ і коефіцієнтом $k=M{A}_1/M{A}_2$. Нехай образом паралелограма $A_2{B}_2{C}_2{D}_2$ при такій гомотетії буде паралелограм $A_1{B}_3{C}_3{D}_3$. Доведемо, що $B_1=B_3$, $C_1=C_3$, $D_1=D_3$. Оскільки $A_1{B}_3=D_3{C}_3$, то $M{A}_1=M{B}_3-M{C}_3+M{D}_3$. Нехай $u,v,w$ — напрямні орти променів $MB,MC,MD$ відповідно. Тоді для деяких дійсних чисел $x,y$ і $z$ $M{B}_3=x\cdot u$, $M{C}_3=y\cdot v$, $M{D}_3=z\cdot w$, звідки $M{A}_1=x\cdot u-y\cdot v+z\cdot w$. Оскільки $A_1{B}_1=D_1{C}_1$, то $M{A}_1=M{B}_1-M{C}_1+M{D}_1$, а тому існують такі $x_0,y_0$ і $z_0$, що $M{B}_1=x_0\cdot u$, $M{C}_1=y_0\cdot v$, $M{D}_1=z_0\cdot w$, $M{A}_1=x_0\cdot u-y_0\cdot v+z_0\cdot w$. Враховуючи, що трійка векторів $u,v,w$ утворює базис у просторі, дістаємо, що $x=x_0$, $y=y_0$, $z=z_0$.