Macedonian Junior Mathematical Olympiad

Let $v_2(n)$ be the greatest integer for which $2^{v_2(n)}$ is a divisor of $n$. Then $v_2(\text{gcd}(a,b))=\min \{v_2(a),v_2(b)\}$. Therefore at least two of the numbers $v_2(a),v_2(b)$ and $v_2(\text{gcd}(a,b))$ are equal.

We define sets $A_{i+1}=\{n\mid v_2(n)\equiv i(\mathrm{mod}2014)\}$ for $0\le i\le 2013$.

Obviously, the sets $A_1,A_2,\dots ,A_{2014}$ are pairwise disjoint, their union is $\mathbb{N}$ and two of the numbers $a,b,\text{gcd}(a,b)$ belong to the set $A_{i+1}$, where $i$ is the residue produced by division of $v_2(\text{gcd}(a,b))$ by $2014$.

---

Alternative solution.

Нека $v_2(n)$ е најголемиот цел број за кој $2^{v_2(n)}$ е делител на $n$. Тогаш, $v_2(\text{НЗД}(a,b))=\min \{v_2(a),v_2(b)\}$. Значи, барем два од броевите $v_2(a),v_2(b)$ и $v_2(\text{НЗД}(a,b))$ се еднакви.

Дефинираме множества $A_{i+1}=\{n\mid v_2(n)\equiv i(\mathrm{mod}2014)\}$ за $0\le i\le 2013$.

Очигледно множества $A_1,A_2,\dots ,A_{2014}$ се попарно дисјунктни, нивната унија е $\mathbb{N}$ и два од броевите $a,b,\text{НЗД}(a,b)$ се наоѓаат во множеството $A_{i+1}$, каде $i$ е остатокот при делење на $v_2(\text{НЗД}(a,b))$ со $2014$.