Ukrainian Mathematical Olympiad

Відповідь: $251$, $313$, $501$, $563$, $751$, $813$.

Маємо: $(3a-2{)}^2-a^2=1000k$. Тобто, $(2a-1)(a-1)=250k=2\cdot 5^3\cdot k$. Числа $2a-1$ і $a-1$ взаємно прості, причому перше з них непарне. Отже, друге число парне, і, відповідно, число $a$ непарне. Звідси випливає, що $a-1=250$, або ж $2a-1=125$. Таким чином, непарне число $a$ з проміжку $100\le a\le 999$ задовольняє умову задачі тоді й тільки тоді, коли $a\in \{251;501;751\}$ або $2a-1\in \{375;625;875;1125;1375;1625;1875\}$.