IMO Selection Test

Нека препоставиме дека $x_1,x_2,...,x_{n+1}$ се цели броеви. Ги дефинираме целите броеви $$a_k=x_k-1=\frac{m+k}{n+k}-1=\frac{m-n}{n+k}>0,$$ за $k=1,2,...,n+1$. Нека $P=x_1{x}_2...x_{n+1}-1$. Потребно е да докажеме дека $P$ е делив со барем еден непарен прост број, или дека $P$ не е степен на бројот 2. За таа цел, ќе ги испитаме степените на 2 кои ги делат броевите $a_k$. Нека $2^d$ е најголем степен на 2 кој го дели $m-n$, а нека $2^c$ е најголем степен на 2 кој не го надминува $2n+1$. Тогаш $2n+1\le 2^{c+1}-1$, па $n+1\le 2^c$. Значи, добиваме дека $2^c$ е еден од броевите $n+1,n+2,...,2n+1$, и дека единствен степен на 2 е $2^c$ кој се наоѓа меѓу тие броеви. Нека $l$ природен број таков што $n+l=2^c$. Бидејќи $\frac{m-n}{n+l}$ е цел број, добиваме дека $d\ge c$. Според тоа $2^{d-c+1}\nmid a_l=\frac{m-n}{n+l}$, додека $2^{d-c+1}|a_k$ за секој $k\in \{1,2,3,...,n+1\}\setminus \{l\}$. Ке пресметаме конгруенција по модуло $2^{d-c+1}$, при што добиваме $$P=(a_1+1)(a_2+1)...(a_{n+1}+1)-1\equiv (a_l+1)\cdot 1^n-1=a_l\not\equiv 0(\mathrm{mod}{2}^{d-c+1}).$$ Според тоа $2^{d-c+1}\nmid P$. Од друга страна, за секој $k\in \{1,2,...,n+1\}\setminus \{l\}$ имаме $2^{d-c+1}|a_k$. Според тоа $P>a_k\ge 2^{d-c+1}$, за некое $k$ од каде следува дека $P$ не е степен на бројот 2.