Ukrainian Mathematical Olympiad

Оскільки $AM=AK$, $CN=CK$ як дотичні, то трикутники $MAK$ та $NCK$ рівнобедрені. Звідси $\angle AMK=\angle AKM$, і $\angle CNK=\angle CKN$.

Далі, $\angle AMK=\angle CPK$ і $\angle AQK=\angle CNK$ як різносторонні при паралельних прямих. Крім того, $\angle AKM=\angle CKP$ і $\angle AKQ=\angle CKN$ як вертикальні. Отже, $\angle AKQ=\angle AQK$ і $\angle CKP=\angle CPK$, тобто трикутники $KAQ$ і $KCP$ рівноберені. Звідси $AM=AK=AQ$, $CN=CK=CP$, тобто трикутники $MAQ$ і $NCP$ рівноберені.

Нехай $I$ — центр кола, вписаного в трикутник $ABC$, тоді $BI$ — серединний перпендикуляр відрізка $MN$ і бісектриса кута $ABC$. З рівнобереного трикутника $MAQ$ знаходимо $\angle AMQ=\frac{180^{\circ }-\angle MAQ}{2}=\frac{\angle ABC}{2}=\angle ABI$, тобто $MQ\parallel BI$. Аналогічно $NP\parallel BI$.

Відтак, $MQ\parallel NP\parallel BI$ і $BI$ проходить через середину $MN$. За теоремою Фалеса, $BI$ проходить через середини відрізків $MP$ і $NQ$, що й завершує доведення.