Ukrainian Mathematical Olympiad

Число $p=2$ не задовольняє умову, оскільки $p^5-p=30=2\cdot 15$ та $3!<15<4!$ Число $p=3$ задовольняє умову, оскільки $p^5-p=240=2\cdot 5!$

Нехай $p\ge 5$ та $p^5-p=2n!$ для деякого натурального $n$, тоді $n!=(p-1)p(p+1)\frac{p^2+1}{2}$. Оскільки $p$ просте та $n!$ ділиться без остачі на $p$, то $n\ge p$. Отже, $$1\cdot 2\cdots (p-2)\cdot (p-1)\cdot p\cdots n=(p-1)p(p+1)\frac{p^2+1}{2}.$$ Звідси $(p+1)(p^2+1)$ ділиться без остачі на $p-2$. Але $(p+1)(p^2+1)=p^3+p^2+p+1=(p-2)(p^2+3p+7)+15$, тому 15 ділиться без остачі на $p-2$.

Оскільки $p-2\ge 3$, то $p-2=3$, або $p-2=5$, або $p-2=15$ тобто $p=5$, або $p=7$, або $p=17$. Перевірка показує, що ці числа не задовольняють умову.

Відповідь: $p=3$.