Ukrainian Mathematical Olympiad

Підставимо $x=0$ і одержимо, що $f(0)=0$. Підставляючи до нашого функціонального рівняння $y=-1$ та $y=-\frac{1}{2}$, одержимо, що $f(-x)=-f(x)$ та $f(x)=2f(\frac{x}{2})$ для будь-яких дійсних $x$. Далі, підставимо $y=\frac{z}{2x}$, де $x\ne 0$, і одержимо, що $f(x+z)=f(x)+f(z)$. Оскільки $f(0+z)=0+f(z)=f(0)+f(z)$, то рівність $f(x+z)=f(x)+f(z)$ має місце для всіх дійсних $x$ і $z$ (позаяк кожен розв'язок функціонального рівняння адитивності, очевидно, задовольняє умову $f(x+2xy)=f(x)+2f(xy)$, то ми встановили, що множини розв'язків цих рівнянь співпадають). Легко довести, що $f(kx)=kf(x)$ для довільних $x\in \mathbb{R}$ і $k\in \mathbb{Z}$. Оскільки $f(2011)=f(2011\cdot 1)=2011f(1)$, і за умовою $f(2011)=2012$, то $2012=2011f(1)$, $f(1)=\frac{2012}{2011}$, $f(2012)=2012f(1)=\frac{2012^2}{2011}$. Відповідь: $f(2012)=\frac{2012^2}{2011}$.