Ukrainian Mathematical Olympiad

Зауважимо, $2012n$ є сумою двох чисел $1000n$, одного числа $10n$ та двох чисел $n$. Якщо не відбувається перенесень у наступний розряд під час додавання цих чисел в стовпчик, то сума цифр утвореного числа буде в 5 разів більшою за суму цифр числа $n$. Під час перенесення однієї одиниці в старший розряд сума цифр зменшується на 9. Оскільки $2012=5\cdot 406-2\cdot 9$, то в старший розряд (або в старші розряди) було перенесено двійку (або, відповідно, дві одиниці).

Аналогічно, під час додавання двох чисел $1000n$, одного числа $10n$ та одного числа $n$ (тобто під час множення $n$ на $2011$) в старші розряди або було перенесено дві одиниці чи двійку, або одну одиницю, або нічого. Відповідно, сума цифр числа $2011n$ становитиме $1606=4\cdot 406-2\cdot 9$, $1615=4\cdot 406-9$ або $1624=4\cdot 406$. Покажемо, що всі ці значення можуть досягатися.

Візьмемо $A_k=\frac{\mathrm{40004000...4000}}{2011n}$ (у записі $k$ разів повторюються цифри $4000$). Тоді сума цифр кожного з чисел $n_0=A_{100}+420$, $n_1=10A_{100}+1050$, $n_2=10A_{99}+2323$ становить $406$, сума цифр кожного з чисел $2012n_0$, $2012n_1$, $2012n_2$ становить $2012$, а суми цифр чисел $2011n_0$, $2011n_1$ та $2011n_2$ дорівнюють, відповідно, $1624$, $1615$ та $1609$.

Відповідь: $1609$, $1615$, $1624$.