Ukrainian Mathematical Olympiad

Оскільки $f^{\prime }(x)=3x^2-6ab$, то при $ab\le 0$ функція $f$ строго зростає на всій числовій прямій, набуває, очевидно, і від’ємних, і додатних значень, а тому твердження задачі справджується.

Якщо $a>0$ і $b>0$, то точками локального екстремуму будуть $x=\pm \sqrt{2ab}$, причому $f(\pm \sqrt{2ab})=-(\sqrt{2a^3}\mp \sqrt{4b^3}{)}^2\le 0$. Рівність в останній нерівності досягатися, як легко помітити, не може через ірраціональність числа $\sqrt{2}$. Отже, в обох точках екстремуму кубічний многочлен набуває від’ємних значень, а тому, зрозуміло, його графік має з віссю $Ox$ єдину спільну точку.

Аналогічно розглядається випадок, коли $a<0$ і $b<0$.