Ukrainian Mathematical Olympiad

Відповідь: ні, барон помиляється. Позначимо $2006$ точок поділу числами $0,1,2,\dots ,2005$, записаними послідовно. Ланки ламаної будемо позначати номерами її кінців. Нескладно перевірити, що якщо $i+j=k+l$ (mod $2006$), то ланки $ij$ та $kl$ будуть паралельними. Припустимо, що барон Мюнхгаузен правий. Тоді існує така перестановка $n_1,n_2,\dots ,n_{2006}$ чисел $0,1,2,\dots ,2005$, що всі суми $n_1+n_2,n_2+n_3,\dots ,n_{2005}+n_{2006},n_{2006}+n_1$ попарно неконгруентні за mod $2006$. Тоді цей набір також є деякою перестановкою чисел $0,1,2,\dots ,2005$. Таким чином, $$(n_1+n_2)+(n_2+n_3)+\cdots +(n_{2006}+n_1)\equiv 0+1+\cdots +2005\equiv 1003(\mathrm{mod}2006)$$ Але, з іншого боку, $$2n_1+2n_2+2n_3+\cdots +2n_{2006}\equiv 2(0+1+2+\cdots +2005)\equiv 0(\mathrm{mod}2006).$$ Одержана суперечність і доводить, що барон Мюнхгаузен помиляється.