Ukrainian Mathematical Olympiad

Відповідь: $f(x)=0$, $x\in \mathbb{R}$; $f(x)=x^2$, $x\in \mathbb{R}$.

З вихідного співвідношення отримуємо, що $$(x-y{)}^{2}f(x+y)=(x+y{)}^{2}f(x-y).$$ Покладемо $x=\frac{t+1}{2}$, $y=\frac{t-1}{2}$ і одержимо, що $1^2\cdot f(t)=t^2\cdot f(1)$ при всіх $t\in \mathbb{R}$. Звідси випливає з необхідністю, що функцію $f$ слід шукати у вигляді $f(x)=\lambda x^2$, де $\lambda \in \mathbb{R}$. Таким чином, для будь-яких $x,y\in \mathbb{R}$ має виконуватися рівність $\lambda (\lambda x^2-y^2{)}^2=(x-y{)}^2\cdot \lambda (x+y{)}^2$. Беручи $x=1$ і $y=1$, знаходимо, що $\lambda \in \{0;1\}$. Перевірка свідчить, що обидві наведені у відповіді функції задовольняють умову.