Ukrainian Mathematical Olympiad

Нехай $H$ — ортоцентр трикутника $ABC$, точка $D$ симетрична $H$ відносно прямої $AC$. Як відомо, точка $D$ лежить на описаному кілі трикутника $ABC$. Позначимо через $Q$ точку перетину відрізків $OD$ і $AC$. Тоді маємо: $\angle QDH=\angle QHD=\angle OBD$. Звідси випливає, що $HQ\parallel BK$, і $\angle BKC=\angle HQC$. Отже, $\angle HQC=\angle DQC=\angle OQK=\angle BKC$, а тому точки $P$ і $Q$ співпадають. Ми довели, що пряма, проведена через точку $P$ паралельно $BK$, проходить через точку $H$. Аналогічно доводиться, що точка $H$ лежить і на прямій, що проходить через точку $T$ паралельно $CN$. Відтак, точка $M$ з умови задачі є ортоцентром трикутника $ABC$. Рівність радіусів описаних кіл трикутників $AMB,BMC$ і $CMA$ є наслідком властивостей кола дев'яти точок (названі трикутники та трикутник $ABC$ мають спільне коло дев'яти точок, а радіус кола дев'яти точок будь-якого трикутника вдвічі менший за радіус його описаного кола). До того ж, рівність радіусів описаних кіл трикутників $ABC,AMB,BMC$ і $CMA$ легко встановлюється за допомогою узагальненої теореми синусів.