Ukrainian Mathematical Olympiad

Зауважимо, що $121n$ — це сума одного числа $100n$, двох чисел $10n$ і одного числа $n$. Якщо додавати ці числа в стовпчик, то в кожному розряді суми, починаючи з другого і закінчуючи передостаннім, буде сума двох цифр попереднього розряду, однієї цифри цього розряду і однієї цифри наступного розряду числа $n$. Якщо при цьому немає перенесень у наступні розряди, то кожна цифра числа $n$ додається 4 рази, і сума цифр числа $121n$ дорівнює $4S(n)=4\cdot 503=2012$. Якщо при цьому є хоча б одне перенесення, то сума цифр числа $121n$, очевидно, зменшиться, тобто в цьому випадку $S(121n)<4S(n)=2012$. Оскільки за умовою задачі $S(121n)=2012$, то перенесень немає, і всі цифри числа $n$ не перевищують 4. Отже, додавання чисел $10n$ та $n$ у стовпчик теж відбудеться без перенесень, а тому $S(11n)=s(10n+n)=2S(n)=1006$.

Відповідь: $S(11n)=1006$.