Ukrainian Mathematical Olympiad

Позначимо значення даного виразу через $a_n$. Маємо: $$\begin{array}{rl}{a}_n& =25^n+5^n-18^n-12^n=(25^n-18^n)-(12^n-5^n)=\\ & =(25-18)(25^{n-1}+25^{n-2}\cdot 18+\cdots +25\cdot 18^{n-2}+18^{n-1})-\\ & -(12-5)(12^{n-1}+12^{n-2}\cdot 5+\cdots +12\cdot 5^{n-2}+5^{n-1}).\end{array}$$ Оскільки $25-18=12-5=7$, то $a_n$ ділиться без остачі на $7$. Аналогічно, $$\begin{array}{rl}{a}_n& =25^n+5^n-18^n-12^n=(25^n-12^n)-(18^n-5^n)=\\ & =(25-12)(25^{n-1}+25^{n-2}\cdot 12+\cdots +25\cdot 12^{n-2}+12^{n-1})-\\ & -(18-5)(18^{n-1}+18^{n-2}\cdot 5+\cdots +18\cdot 5^{n-2}+5^{n-1}),\end{array}$$ тому $a_n$ ділиться без остачі на $13$. Оскільки $7$ і $13$ взаємно прості, то $a_n$ ділиться без остачі на $7\cdot 13=91$.