Ukrainian Mathematical Olympiad

Використаємо відому нерівність $(x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge 9$, $x,y,z>0$, яку неважко довести за допомогою нерівності Коші. Перепишемо її у вигляді $\frac{1}{x+y+z}\le \frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$. Оскільки $a+3b+2c=2b+(b+c)+(c+a)$, то $$\frac{ab}{a+3b+2c}\le \frac{ab}{9}\left(\frac{1}{2b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)=\frac{a}{18}+\frac{1}{9}\left(\frac{ab}{b+c}+\frac{ab}{c+a}\right).$$ Додавши цю та ще дві аналогічні нерівності, дістанемо $$\begin{array}{rl}\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ca}{c+3a+2b}& \le \frac{1}{18}(a+b+c)+\frac{1}{9}\left(\frac{ab}{b+c}+\frac{ab}{c+a}+\frac{bc}{c+a}+\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c}\right)\\ & \le \frac{1}{18}(a+b+c)+\frac{1}{9}(a+b+c)=\frac{1}{6}(a+b+c).\end{array}$$