Macedonian Junior Mathematical Olympiad

Let us notice that $K$ must lie on $OM$. From $HK\perp GM$ and $OG\perp GM$, it follows that $HK\parallel OG$. Analogously $OH\parallel GK$. From $\overline{OG}=\overline{OH}$, it follows that $OHKG$ is a rhombus. Let us notice that $O$, $H$, $M$ and $G$ lie on the circle with diameter $OM$. Hence $\angle OGH=\angle OMH$. Now the statement of the exercise follows from $\angle OGK=2\angle OGH$ and $\angle GMH=2\angle OMH$.

---

Alternative solution.

Да забележиме дека $K$ мора да лежи на $ОМ$. Од $\overline{HK}\perp \overline{GM}$ и $\overline{OG}\perp \overline{GM}$, следува $\overline{HK}\parallel \overline{OG}$. Аналогно $\overline{OH}\parallel \overline{GK}$. Од $\overline{OG}=\overline{OH}$, следува $\overline{OHKG}$ е ромб. Да забележиме дека $O$, $H$, $M$ и $G$ лежат на кружница со дијаметар $ОМ$. Оттука $\angle OGH=\angle OMH$. Сега тврдењето на задачата следува од $\angle OGK=2\angle OGH$ и $\angle GMH=2\angle OMH$.