Macedonian Junior Mathematical Olympiad

Let us notice that $K$ must lie on $OM$. From $HK\perp GM$ and $OG\perp GM$, it follows that $HK\parallel OG$. Analogously $OH\parallel GK$. From $\overline{OG}=\overline{OH}$, it follows that $OHKG$ is a rhombus. Let us notice that $O$, $H$, $M$ and $G$ lie on the circle with diameter $OM$. Hence $\angle OGH=\angle OMH$. Now the statement of the exercise follows from $\angle OGK=2\angle OGH$ and $\angle GMH=2\angle OMH$.

---

Alternative solution.

Да забележиме дека $K$ мора да лежи на $OM$. Од $HK\perp GM$ и $OG\perp GM$, следува $HK\parallel OG$. Аналогно $OH\parallel GK$. Од $\overline{OG}=\overline{OH}$, следува $OHKG$ е ромб. Да забележиме дека $O$, $H$, $M$ и $G$ лежат на кружница со дијаметар $OM$. Оттука $\angle OGH=\angle OMH$. Сега тврдењето на задачата следува од $\angle OGK=2\angle OGH$ и $\angle GMH=2\angle OMH$.