Ukrainian Mathematical Olympiad

Нехай $x=\frac{m}{n}$, $y=\frac{p}{q}$, де $m,n,p,q$ — натуральні числа, причому $(m;n)=(p;q)=1$. Оскільки $x+y^{-1}=\frac{m}{n}+\frac{q}{p}=\frac{mp+nq}{np}$ має бути цілим, то $np\mid mp+nq$. Аналогічно, $y+x^{-1}=\frac{p}{q}+\frac{n}{m}=\frac{pm+nq}{qm}$ має бути цілим, тобто $qm\mid pm+nq$.

Оскільки $np\mid mp+nq$ і $qm\mid pm+nq$, а тому $p\mid n$ і $n\mid p$. Маємо, що $n=p$. Аналогічно доводиться, що $m=q$. Звідси тепер випливає, що $2m\mid n$ і $2n\mid m$. Отже, $m,n,p,q\in \{1;2\}$. Тепер уже неважко одержати відповідь.