Ukrainian Mathematical Olympiad

Відповідь: 2006.

Помітимо, що $$\frac{a_i}{(a_i+a_{i+1})a_{i+1}}=\frac{1}{a_{i+1}}-\frac{1}{a_i+a_{i+1}},\frac{a_{i+1}}{a_i(a_i+a_{i+1})}=\frac{1}{a_i}-\frac{1}{a_i+a_{i+1}}$$ де $i=1,2006$, $a_{2007}=a_1$. Додаванням цих рівностей одержимо, що значення сум, про які йдеться в умові задачі, будуть однаковими.