Ukrainian Mathematical Olympiad

Нехай біля вершин правильного восьмикутника послідовно записані числа $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8$.

a) Припустимо, що числа можна розташувати потрібним чином. Тоді $$\{\begin{array}{l}{a}_1+a_2+a_3\ge 14,\\ a_2+a_3+a_4\ge 14,\\ ⋮\\ a_8+a_1+a_2\ge 14.\end{array}$$ Додаючи всі ці нерівності, одержимо: $3(a_1+a_2+\dots +a_8)\ge 8\cdot 14$. Але $a_1+a_2+\dots +a_8=1+2+\dots +8=36$, тому дістаємо нерівність $3\cdot 36\ge 8\cdot 14$, тобто $108\ge 112$. Суперечність.

б) Можна покласти, наприклад, $a_1=1$, $a_2=5$, $a_3=6$, $a_4=2$, $a_5=4$, $a_6=7$, $a_7=3$, $a_8=8$.

в) Припустимо, що потрібне розміщення чисел існує. Числа $2$ і $3$ не можна записати в сусідніх вершинах, інакше і зліва і справа від них мало б стояти число $8$, яке не може зустрітись двічі. Далі, не порушуючи загальності, можна вважати, що $a_1=1$, тоді жодне з чисел $a_2,a_3,a_7,a_8$ не дорівнює ані $2$ ані $3$, а тому або $a_4=2$ і $a_6=3$, або $a_4=3$ і $a_6=2$. У обох цих випадках маємо $a_5=8$. Отже, $a_2,a_3,a_7$ та $a_8$ — це записані в деякому порядку числа $4,5,6,7$, і тому $(a_1+a_2+a_3)+(a_7+a_8+a_1)=24$ та сума принаймні в одній з дужок є меншою за $13$. Суперечність.

Відповідь: а) Не можна. б) Можна. в) Не можна.