Ukrainian Mathematical Olympiad

a. Відповідь: $x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$. Дане рівняння можна записати у вигляді $$x^2+2x+\frac{1}{x^2+2x}=2(x+1)-1.$$ $$\frac{1}{x^2+2x}{\left((x^2+2x)-(x+1)\right)}^2=0.$$

b. Відповідь: $x=y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$. Маємо: $$x^2+2x+y^2+2y+\frac{1}{x^2+2x}+\frac{1}{y^2+2y}=2(x+1)+2(y+1)-2,$$ $$\frac{1}{x^2+2x}{\left((x^2+2x)-(x+1)\right)}^2+\frac{1}{y^2+2y}{\left((y^2+2y)-(y+1)\right)}^2=0.$$ Отже, оскільки $x>0$ і $y>0$, то $x^2+x-1=0$ і $y^2+y-1=0$.