Ukrainian Mathematical Olympiad

Відповідь: $x=y=z=\sqrt{2}$. Із системи випливає, що $$\sqrt{x-\frac{1}{y}}+\sqrt{y-\frac{1}{z}}+\sqrt{z-\frac{1}{x}}=\frac{1}{2}\sqrt{x+y+z}\cdot \sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$ Звідси за нерівністю Коші-Буняковського маємо: $$\begin{gathered} \sqrt{x-\frac{1}{y}}+\sqrt{y-\frac{1}{z}}+\sqrt{z-\frac{1}{x}}\ge \frac{1}{2}(x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}), \\ \left(x\sqrt{y}-2\sqrt{x-\frac{1}{y}}\right)+\left(y\sqrt{z}-2\sqrt{y-\frac{1}{z}}\right)+\left(z\sqrt{x}-2\sqrt{z-\frac{1}{x}}\right)\le 0, \\ \frac{{\left(\sqrt{xy}-1\right)}^2}{\sqrt{y}}+\frac{{\left(\sqrt{yz}-1\right)}^2}{\sqrt{z}}+\frac{{\left(\sqrt{zx}-1\right)}^2}{\sqrt{x}}\le 0. \end{gathered}$$

Отже, з необхідністю $xy=yz=zx=2$. Заливається переконатися, що трійка $x=y=z=\sqrt{2}$ задовольняє умову задачі.