Ukrainian Mathematical Olympiad

Якщо виконується умова задачі, і принаймні одне з чисел $a,b$ дорівнює 1, то твердження є очевидним. Нехай $a>1$ і $b>1$. Позначимо $\frac{a^4-1}{b+1}=\frac{x}{y}$, $\frac{b^4-1}{a+1}=\frac{z}{t}$, де $x,y,z,t$ — натуральні числа, причому $(x;y)=(z;t)=1$. За умовою задачі, сума $\frac{x}{y}+\frac{z}{t}=m$ є цілим числом, тобто $xt+yz=myt$. З цієї рівності випливає, що $y:t$ і $t:y$. Отже, $y=t$. Оскільки добуток $$\frac{x}{y}\cdot \frac{z}{t}=\frac{a^4-1}{b+1}\cdot \frac{b^4-1}{a+1}=(a-1)(b-1)(a^2+1)(b^2+1)=k$$ також є цілим числом, то $y=t=1$, бо $(x;y)=(z;t)=1$. Звідси випливає, що $b^4-1$ ділиться без остачі на $a+1$. Звідси одержуємо, що $b^{2012}-1\equiv a+1(\mathrm{mod}2012)$, а числа $b^{2012}-1\equiv a^{2010}-1(\mathrm{mod}2010)$, і діляться без остачі на $a+1$ (ми враховуємо, що $a^{2010}-1=(a^2{)}^{1005}-1$ ділиться без остачі на $a^2-1$), то $a^{2010}{b}^{2012}-1\equiv a+1$, що й треба було довести (можна також було скористатися й властивостями конгруенцій).