Ukrainian Mathematical Olympiad

Візьмемо на стороні $BC$ таку точку $K$, що $BM=BK$. Легко бачити, що $\Delta BMI=\Delta BKI$. Оскільки навколо чотирикутника $ANIM$ можна описати коло, і $\angle MAI=\angle NAI$, то $MI=NI=KI$. Зауважимо, що $\angle BKI=\angle BMI=180^{\circ }-\angle AMI=\angle ANI$, $\angle CNI=\angle CKI$. З того, що $\angle NCI=\angle KCI$, випливає рівність кутів $CIN$ і $CIK$. Отже, $\Delta CNI=\Delta CKI$, $CN=CK$, $BM+CN=BK+KC=BC$.