Macedonian Mathematical Olympiad

Let $a\ge b\ge c$ be the numbers of the lines in the three groups for which the greatest possible number of triangles is attained. Then $a+b+c=2014$, and the greatest possible number of triangles is $abc$ (when no three lines have a common point). We will show that $a\le c+1$. Let us suppose the opposite, i.e. $a>c+1$. Then $abc<b(ac+a-c-1)=b(a-1)(c+1)$, which is contradictory to the choice of $a,b$ and $c$. It cannot be that $a=c$, because in that case $a=b=c=\frac{2014}{3}$ is not an integer. In order for $a,b$ and $c$ to be integers, it must be that $a=672$ and $b=c=671$ and so the number of triangles is $672\cdot 671^2$.

---

Alternative solution.

Нека $a\ge b\ge c$ се броевите на прави во трите групи за кои се добива најголем број на триаголници. Тогаш $a+b+c=2014$, а најголемиот можен број на триаголници е $abc$ (кога никои три прави немаат заедничка точка). Ќе докажеме дека $a\le c+1$. Да го претпоставиме спротивното, т.е. $a>c+1$. Тогаш $abc<b(a+c-a-c-1)=b(a-1)(c+1)$, што е противречно на изборот на $a,b$ и $c$. Не може $a=c$, бидејќи во тој случај $a=b=c=\frac{2014}{3}$ не е цел број. За $a,b$ и $c$ да бидат цели мора $a=672$ и $b=c=671$ и бројот на триаголници е $672\cdot 671^2$.