Macedonian Mathematical Olympiad

Case 1. $a\ge 0$. Clearly $c\ge 0$ where $c=0$ implies $b=0$. We get that $(a,0,0)$ is a solution for an arbitrary non-negative integer $a$. From the equality $3^{2a+1}{b}^2+1=2^c$ it follows that $b$ is an odd integer. We can write the left-hand side in the following form $$3^{2a+1}{b}^2+1=(3^{2a+1}+1)b^2-(b-1)(b+1).$$ For the right-hand side of the last equality we notice that $(b-1)(b+1)$ is divisible by 8, while $(3^{2a+1}+1)b^2$ is divisible by 4 but not by 8. Therefore $2^c=4$ i.e. $c=2$. But then $3^{2a+1}{b}^2=3$, so that $a=0$ and $b=\pm 1$.

Case 2. $a<0$. Again $c\ge 0$ where $c=0$ implies $b=0$ and then $a$ can be an arbitrary negative integer. Therefore we restrict ourselves to the case $c>0$. It is enough to consider the case $b>0$. Putting $d=-a$, the Diophantine equation from the statement of the exercise gets the form $$(2^c-1)3^{2d-1}=b^2.$$ where $b,c$ and $d$ are natural numbers. Therefore $b$ is divisible by 3, and hence $c$ is an even number. Hence we have $b=3^{d}x$, $c=2y$ for some natural numbers $x$ and $y$. The Diophantine equation gets the form $$4^{y-1}+4^{y-2}+\cdots +1=x^2.$$ This implies $x=y=1$. Namely, for $y\ge 2$ we would get that $x^2\equiv 5(\mathrm{mod}8)$, which is impossible. Therefore in this case the only solutions are $(a,3^{-a},2)$, where $a$ is an arbitrary negative integer.

The set $M$ of all solutions to the Diophantine equation from the statement of the exercise is: $$M=\{(a,0,0)\mid a\in \mathbb{Z}\}\cup \{(a,\pm 3^{-a},2)\mid a\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\}.$$

---

Alternative solution.

Случај 1. $a\ge 0$. Јасно $c\ge 0$ при што $c=0$ повлекува $b=0$. Добиваме дека $(a,0,0)$ за произволен ненегативен цел број $a$. Од равенството $3^{2a+1}{b}^2+1=2^c$ следува дека $b$ е непарен цел број. Левата страна можеме да ја запишеме во следниов облик $$3^{2a+1}{b}^2+1=(3^{2a+1}+1)b^2-(b-1)(b+1).$$ За десната страна од последниот израз да забележиме дека $(b-1)(b+1)$ е делив со 8, додека $(3^{2a+1}+1)b^2$ е делив со 4 но не со 8. Затоа $2^c=4$ т.е. $c=2$. Но тогаш $3^{2a+1}{b}^2=3$, па $a=0$ и $b=\pm 1$.

Случај 2. $a<0$. Повторно $c\ge 0$ при што $c=0$ повлекува $b=0$ и тогаш $a$ може да е произволен негативен цел број. Затоа да се ограничиме на случајот $c>0$. Доволно е да го разгледаме случајот $b>0$. Ставајќи $d=-a$, диофантова равенка од условот на задачата добива облик $$(2^c-1)3^{2d-1}=b^2,$$ при што $b,c$ и $d$ се природни броеви. Значи $b$ е делив со 3, од што следува дека $c$ е парен број. Така $b=3^{d}x,c=2y$, за некои природни броеви $x$ и $y$. Диофантовата равенка се сведува до облик $$4^{y-1}+4^{y-2}+\cdots +1=x^2.$$ Ова повлекува $x=y=1$. Имено, за $y\ge 2$ би добиле дека $x^2\equiv 5(\mathrm{mod}8)$, што не е можно. Значи во овој случај единствените решенија се $(a,3^{-a},2)$, каде $a$ е произволен негативен цел број.

Множеството $M$ од сите решенија на диофантовата равенка од условот на задачата може да се опише на следниов начин: $$M=\{(a,0,0)\mid a\in \mathbb{Z}\}\cup \{(a,\pm 3^{-a},2)\mid a\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}\}.$$