Ukrainian Mathematical Olympiad

Нехай пряма $DF$ перетинає прямі $AC$ і $AP$ в точках $N$ і $M$ відповідно (нескладно довести, що такі точки перетину існують). Нехай $\angle BAC=\alpha$, $\alpha >45^{\circ }$, $\angle BAK=\angle KAD=\delta$. Тоді $\angle FDB=\alpha$, $\angle NDC=\alpha$. Далі, $\alpha -\delta =45^{\circ }$, $90^{\circ }-\alpha +2\delta =\alpha$, а тому $\angle ADC=\alpha$. Звідси випливає, що точка $C$ — середина відрізка $AN$.

Оскільки промінь $AK$ — бісектриса внутрішнього кута $A$ трикутника $FDA$, а промінь $DK$ — бісектриса його зовнішнього кута при вершині $D$, то промінь $FK$ є бісектрисою його зовнішнього кута при вершині $F$. Тому $FP$ — медіана трикутника $MFA$. Отже, $CP$ є середньою лінією трикутника $AMN$, і $CP=\frac{1}{2}NM$. Залишається врахувати, що $ND=AD$ і $AF=FM$.