Ukrainian Mathematical Olympiad

Відповідь: $m=n=1$. При $n\ge 2$ ліва частина рівняння ділиться без остачі на $4$, а тому $m^{\prime \prime }=3(\mathrm{mod}4)$, що можливо лише для непарних $m$ і $n$. При непарному $n$ маємо, що $14^{\prime \prime }=2(\mathrm{mod}3)$, а тому $m=1(\mathrm{mod}3)$. Оскільки $m<14$, то $m\in \{1;7;13\}$. Але при $m=7$ права частина рівності не ділиться без остачі на $7$, а ліва ділиться. При $m=13$ маємо рівність $14^{\prime \prime }=13^{\prime \prime }+1=1$. Але при непарному $n$ число $14^{\prime \prime }$ закінчується цифрою $4$, а число $13^{\prime \prime }+1=1$ — або нулем, або двійкою. Отже, $n=1$, звідки $m=1$.