Ukrainian Mathematical Olympiad

Відповідь: $f(x)=kx$, $k\in \mathbb{R}$ — довільне.

З вихідного рівняння дістаємо, що $f(y^3)=yf(y^2)$, $f(x^3)=x^{2}f(x)$. А тому при всіх $x,y\in \mathbb{R}$ $$f(x^3+y^3)=f(x^3)+f(y^3).$$ Отже, ми встановили, що функція $f$ є адитивною: при всіх $u,v\in \mathbb{R}$ $$f(u+v)=f(u)+f(v).$$ Далі, оскільки $$f(0)=0\text{і}f(x^3)\equiv x^{2}f(x)\equiv xf(x^2),\text{то}f(x^2)\equiv xf(x).\text{Таким чином,}$$ $$f(x^2+2x+1)\equiv (x+1)f(x+1)\equiv (x+1)(f(x)+f(1)).$$ З іншого боку, $$f(x^2+2x+1)\equiv xf(x)+2f(x)+f(1).$$ З цих співвідношень дістанемо, що $f(x)=f(1)x$, $x\in \mathbb{R}$. Залишається перевіркою переконатися, що всі функції вигляду $f(x)=kx$, $k\in \mathbb{R}$, задовольняють умову.