Macedonian Junior Mathematical Olympiad

From the condition $11|n$, the number $n$ must have at least two digits. Let $n=\overline{a_k{a}_{k-1}\dots a_0}$ where $a_i$, $0\le i\le k$ are digits and $a_k\ne 0$. From the former discussion we have $k\ge 1$.

We will show that all digits in the number $n$ are equal. Namely, from the condition of the exercise, the number $n^{\prime }=\overline{a_k{a}_{k-1}\dots a_{i-1}{a}_i{a}_{i-2}\dots a_0}$ ($n^{\prime }$ is obtained from $n$ by exchanging the positions of the digits $a_{i-1}$ and $a_i$) is also divisible by $11$. Therefore $11|n-n^{\prime }$, i.e. $11|10^{i-1}(\overline{a_i{a}_{i-1}}-\overline{a_{i-1}{a}_i})$ or $11|10^{i-1}\cdot 9(a_i-a_{i-1})$, and hence $a_i=a_{i-1}$.

It follows that $n=a\cdot {\overline{11\dots 11}}_{k+1}$. We easily check that $11|n$ if and only if $k$ is an odd number.

---

Alternative solution.

Од условот $11|n$ и бројот $n$ мора да е најмалку двоцифрен. Нека $n=\overline{a_k{a}_{k-1}...a_0}$ каде $a_i$, $0\le i\le k$ се цифри и $a_k\ne 0$. Од претходната дискусија $k\ge 1$.

Ќе покажеме дека сите цифри во бројот $n$ се еднакви. Имено, од условот на задачата и бројот $n^{\prime }=a_k{a}_{k-1}\dots a_{i-1}{a}_i{a}_{i-2}\dots a_0$ ($n^{\prime }$ е добиен од $n$ со промена на местата на цифрите $a_{i-1}$ и $a_i$) е делив со $11$. Значи $11|n-n^{\prime }$, т.е. $11|10^{i-1}(a_i{a}_{i-1}-a_{i-1}{a}_i)$ или $11|10^{i-1}\cdot 9(a_i-a_{i-1})$, па мора $a_i=a_{i-1}$.

Следува, $n=a_1\cdot a_2\cdot \cdots \cdot a_{k+1}$. Лесно се проверува дека $11|n$ ако и само ако $k$ е непарен број.