Macedonian Junior Mathematical Olympiad

We draw a line $l$ through $E$ which is parallel to $BC$. Let $H$ be the intersection of $l$ and $AG$. Now we have that $G$ is the intersection of the diagonals in the trapezoid $EHFC$.

(i) $\Rightarrow$ (ii): Let the lines $BD$ and $EF$ be parallel. Then, from Thales' theorem for parallel segments we have the equalities: $$\frac{\overline{AC}}{AH}=\frac{\overline{AB}}{AE}\text{ and }\frac{\overline{AB}}{AE}=\frac{\overline{AD}}{AF}.$$ It follows that $\frac{\overline{AC}}{AH}=\frac{\overline{AD}}{AF}$, and therefore from the same Thales' theorem we conclude that the lines $HF$ and $ED$ are parallel. Therefore $EHFC$ is a parallelogram and its diagonals bisect each other in the intersecting point $G$.

(ii) $\Rightarrow$ (i): Let $G$ be the midpoint of the segment $\overline{EF}$. Then $\Delta EGH\cong \Delta FGC$, so that $EHFC$ is a parallelogram and we conclude that $HF$ and $ED$ are parallel. Therefore the equalities $$\frac{\overline{AC}}{AH}=\frac{\overline{AB}}{AE}\text{ and }\frac{\overline{AC}}{AH}=\frac{\overline{AD}}{AF}.$$ hold. It follows that $\frac{\overline{AB}}{AE}=\frac{\overline{AD}}{AF}$, and therefore from the same Thales' theorem we conclude that $BD$ and $EF$ are parallel.

---

Alternative solution.

Низ $E$ повлекуваме права $l$ паралелна со $BC$. Нека $H$ е пресечната точка на $l$ и $AG$. Така $G$ е пресечна точка на дијагоналите во трапезот $EHFC$.

(i) $\Rightarrow$ (ii): Нека правите $BD$ и $EF$ се паралелни. Тогаш, од Талесовата теорема за паралелни отсечки, ги имаме равенствата: $$\overline{AC}=\overline{AB}\text{ и }\overline{AE}=\overline{AF}.$$ Следува дека $\overline{AC}=\overline{AD}$, па од истата Талесова теорема заклучуваме дека правите $HF$ и $ED$ се паралелни. Значи, $EHFC$ е паралелограм и неговите дијагонали се преполовуваат во пресечната точка $G$.

(ii) $\Rightarrow$ (i): Нека $G$ е средишна точка на отсечката $\overline{EF}$. Тогаш $\Delta EGH\cong \Delta FGC$, па $EHFC$ е паралелограм и заклучуваме дека правите $HF$ и $ED$ се паралелни. Затоа важат равенствата: $$\overline{AC}=\overline{AB}\text{ и }\overline{AH}=\overline{AF}.$$ Следува дека $\overline{AB}=\overline{AD}$, па од истата Талесова теорема заклучуваме дека правите $BD$ и $EF$ се паралелни.