Ukrainian Mathematical Olympiad

Question

Vandal Peter cut a rectangular head teacher's portrait along a straight line. After this he cut one of the pieces along a straight line, then he cut one of the new pieces etc. After he had made 100 cuts, the head teacher arrived and forced Peter to pay 2 kopecks for each triangular piece and 1 kopeck for each quadrangular piece. Prove that Peter paid more than 1 hryvnya (1 hryvnya = 100 kopecks).

Accepted Answer

Очевидно, що отримані під час розрізання шматки є опуклими многокутнимами. Одним розрізанням загальна кількість вершин збільшується щонайбільше на 4. Тому після 100 розрізань многокутники матимуть не більше за 404 вершини. З іншого боку, після 100 розрізань утворився 101 многокутник. Нехай серед них n трикутників та m чотирикутників. Тоді утворені многокутники мають не менше за 3n + 4m + 5(101 - m - n) = 505 - 2n - m вершин. Отже, 505 - 2n - m 404, звідки 2n + m 101 > 100.