Ukrainian Mathematical Olympiad

Нехай точка $P$ — центр описаного кола трикутника $AB{I}_A$. Кут $AB{I}_A$ тупий, а тому точки $P$ і $B$ лежать по різні боки від прямої $A{I}_A$. Нехай $M$ і $N$ — точки дотику даного кола зі стороною $BC$ і продовженням сторони $AC$ відповідно, а $K$ — точка перетину цього продовження з описаним колом трикутника $AB{I}_A$ (дивись рисунок). Оскільки $I_{A}M=I_{A}N$ і $B{I}_A=K{I}_A$, то прямокутні трикутники $BM{І}_A$ та $KN{I}_A$ рівні, а тому $BM=KN$. Оскільки $CM=CN$, то $BC=CK$, тобто трикутник $BCK$ рівнобедрений. Нехай $\angle BCA=\gamma$, тоді $\angle BKC=\gamma /2$, $\angle BPA=\gamma$. Отже, $\angle BCA=\angle BPA$, а це й означає, що точка $P$ належить описаному колу трикутника $ABC$. Аналогічно доводиться, що центр описаного кола трикутника $AC{I}_A$ також лежить на цьому колі. Це й завершує доведення.