Ukrainian Mathematical Olympiad

Покладемо у вихідній нерівності $x=y=z=0$. Тоді $(f(0)-1{)}^2\le 0$, тобто $f(0)=1$.

Візьмемо $y=z=0$ і одержимо, що $f(0)+f(0)\ge f(x)f(0)+1$. Звідси $f(x)\le 1$ для всіх $x\in \mathbb{R}$.

Якщо $x=y=z=1$, то $(f(1)-1{)}^2\le 0$, $f(1)=1$.

Для $y=z=1$ маємо: $f(x)+f(x)\ge f(x)f(1)+1$, $f(x)\ge 1$, $x\in \mathbb{R}$.

Ми встановили, що для всіх $x\in \mathbb{R}$ $f(x)=1$.

Перевірка показує, що така функція задовольняє умову задачі.