Ukrainian Mathematical Olympiad

Нехай прямі $AN$ і $CK$ вдруге перетинають вписане коло трикутника $ABC$ в точках $P$ і $Q$ відповідно. За теоремами про вписаний кут та кут між дотичною й хордою одержуємо: $$\angle PNM=\angle PQM=\angle PMA,$$ $$\angle QKM=\angle QPM=\angle QMC.$$ За умовою задачі, $\angle PNM=\angle QKM$, а тому $PQ\parallel AC$. Звідси випливає, що $\angle CAN=\angle QPN=\angle QKN=\angle CKN$. Тобто $\angle CAN=\angle CKN$. Це означає, що навколо чотирикутника $AKNC$ можна описати коло, і $\angle CAK=\angle BNK$, $\angle ACN=\angle BKN$. Трикутник $KBN$ є рівнобедреним, тобто $\angle BNK=\angle BKN$. Отже, $\angle CAK=\angle ACN$.