Ukrainian Mathematical Olympiad

Доведемо допоміжну нерівність $$\frac{1}{1+a+b}\le 1-\frac{a+b}{2}+\frac{ab}{3}.$$ Ця нерівність рівносильна таким нерівностям: $$6\le (1+a+b)(6-3(a+b)+2ab),$$ $$6\le 6+6(a+b)-3(a+b)-3(a+b{)}^2+2ab+2ab(a+b),$$ $$2a^{2}b+2a{b}^2-3a^2-3b^2-4ab+3a+3b\ge 0,$$ $$2a(a-1)(b-1)+2b(a-1)(b-1)+a(1-a)+b(1-b)\ge 0.$$ Остання нерівність є правильною, бо $a,b\in [0,1]$.

Додаючи цю та ще дві аналогічні нерівності, дістанемо, що $$\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\le 3-(a+b+c)+\frac{1}{3}(ab+bc+ca),$$ звідки й випливає потрібна нерівність.