Ukrainian Mathematical Olympiad

З умови задачі випливає, що всі члени даної послідовності є цілими числами, причому $a_3=14\cdot 9-1-4=121$. Доведемо індукцією за $n\ge 2$, що $a_{n-1}{a}_{n+1}=(a_n+2{)}^2$. Справді, для $n=2$ маємо: $a_1{a}_3=1\cdot 121=(9+2{)}^2=(a_n+2{)}^2$. Припустимо тепер, що $a_{n-1}{a}_{n+1}=(a_n+2{)}^2$. Тоді $$\begin{array}{rl}{a}_n{a}_{n+2}-(a_{n+1}+2{)}^2& =a_n(14a_{n+1}-a_n-4)-(a_{n+1}+2{)}^2\\ & =14a_n{a}_{n+1}-a_n^2-4a_n-a_{n+1}^2-4a_{n+1}-4\\ & =a_{n+1}(14a_n-a_{n+1}-4)-(a_n+2{)}^2\\ & =a_{n-1}{a}_{n+1}-(a_n+2{)}^2=0.\end{array}$$ За принципом математичної індукції, $a_{n-1}{a}_{n+1}=(a_n+2{)}^2$ для всіх $n\ge 2$, тобто для всіх $n\ge 2$ добуток $a_{n-1}{a}_{n+1}$ є квадратом цілого числа. Якщо $a_{n-1}$ — квадрат цілого числа і $a_{n-1}{a}_{n+1}$ — квадрат цілого числа, то і $a_{n+1}$ — квадрат цілого числа. Оскільки $a_1=1$ і $a_2=9$ — квадрати цілих чисел, за індукцією одержуємо, що $a_n$ — квадрат цілого числа для кожного натурального $n$, що й треба було довести.